Уравнения потенциального движения


Потенциальным течением будем называть  течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.


Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно,  потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция


Уравнения потенциального движения.                                                                                           (2.5)


 


Равенство (2.5) можно переписать в виде


 


Уравнения потенциального движения                                                                                                    (2.6)


 


или, учитывая закон Дарси,


 


Уравнения потенциального движения.                                                                                               (2.7)


 


Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации; gradj
- градиент потенциала j,
направленный в сторону быстрейшего возрастания  j,


Уравнения потенциального движения;


 


 


 


 


 


(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , eQ , ej , er , ez - единичные векторы по осям координат x, y, z , Q, j, r  и z (цилиндрическая система ).


Уравнение (2.7)  - это закон Дарси, записанный для потенциального течения.


 Подставляя (2.7)в (2.1), получаем


Уравнения потенциального движения,                                                                                                     (2.8)


 


а для установившегося течения


 


Уравнения потенциального движения.                                                                                                            (2.9)


 


Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа
относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.


Уравнение Лапласа имеет два  практически важных свойства:


*                                                                                                                                                                                                                                                           сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;


*                                                                                                                                                                                                                                                           произведение частного решения на константу - также решение.


Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.


 В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид


Уравнения потенциального движения  ,


 


 


 


 


 


 


 


где (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.


 


Уравнения фильтрации для трещиновато-пористой среды


 


Общая система уравнений


 


В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать её характерные особенности (рис.1.2):


1)  моделирование связано  с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен -  пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);


2)  между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.


При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что  в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.


Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:


 


Уравнения потенциального движенияУравнения потенциального движения.                                                                       (2.10)


 


Для жидкости в пористых блоках


 


Уравнения потенциального движенияУравнения потенциального движения.                                                                   (2.11)


 


Здесь q1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL-3T-1, где М – размерность массы, L – расстояния и Т – времени).


Будем полагать, что q1,2
пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред


 


q1,2=Q (j2 - j1),                                                                                                 (2.12)


 


где Q - коэффициент переноса, размерности L-2.


Для чисто трещиноватого пласта считаем q1,2=0 и тогда  будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р1=р2=р
получаем


 


Уравнения потенциального движения                                                               (2.13)


 


Для чисто трещинного пласта


 


Уравнения потенциального движения.                                                                                                      (2.14)


 


 


Начальные и граничные условия


 


Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для потенциала.


 


Начальные условия


 


j = jо(x,y,z) при t = 0,                                                                                      (2.15)


если при t = 0 пласт не возмущён, то j = jо = const.


 


Граничные условия


 


Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).


 


А) Внешняя граница  Г


1)постоянный потенциал


 


j(Г, t)=jк=const,                                                                                              (2.16)


т.е. граница является контуром питания;


2) постоянный переток массы через границу


G = Fr`u = const, т.е. используя уравнение (2.7)


Уравнения потенциального движения                                                                                                    (2.17)


 


3) переменный поток массы через границу


 


Уравнения потенциального движения                                                                                                     (2.18)


 


 


4) замкнутая внешняя граница


 


Уравнения потенциального движения                                                                                                            (2.19)


 


 


5) бесконечный пласт


 


Уравнения потенциального движенияlimx®¥
j(Г,t) = jк = const.                                                                            (2.20)


            y®¥


 


В) Внутренняя граница


1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса rc


j(rc , t)=jc=const
;                                                                                            (2.21)


 


2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)


 


Уравнения потенциального движения;          (2.22)


 


3) переменный потенциал на забое


 


j(rc ,t)=f2(t)   при    r=rc;                                                                                  (2.23)


4) переменный массовый дебит


 


Уравнения потенциального движения;                                                                         (2.24)


 


5) неработающая скважина


Уравнения потенциального движения                                                                              (2.25)


 


Основные граничные условия - А1, А5  и  В1, В2.


 


 


Замыкающие соотношения


 


Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей r, m, k, h от давления.


 


Зависимость плотности  от давления или уравнения состояния


 


Различают жидкости:


а) Несжимаемую -  r=соnst.                                                                             (2.26)


в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения  объёма нефти и воды при снижении давления


 


Уравнения потенциального движения,                                                                                             (2.27)


где  bж - коэффициент объёмного расширения, Уравнения потенциального движения,  Vж - объём жидкости;


 


bж= (7-30)10-10 Па-1- для нефти и (2,7-5)10-10Па-1 для пластовой воды.


с) Сжимаемую жидкость - газ, имеющую место при разработке газовых и газоконденсатных залежей. До рпл < 9 МПа и    D р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа


р=r R T,                                                                                                            (2.28)


 


где R - газовая постоянная, Т - температура.


Совершенный газ - это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.


При изотермическом процессе (Т= const ) используют соотношение


Уравнения потенциального движения.                                                                                                   (2.29)


 


Если рпл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа


р=zr R T,                                                                                                          (2.30)


где z - коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.


 


Зависимость вязкости от давления


 


До давления меньше давления насыщения вязкость можно принимать не зависящей от давления, а при больших значениях давления


Уравнения потенциального движения.                                                                                          (2.31)


 


Зависимость пористости от давления


 


Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды - эффективным давлением sэф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что


sэф + рпл = ргорн
= const
.                                                                                    (2.32)


 


Здесь  р - поровое давление; ргорн= rгорн g H -горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности rгорн; Н - глубина залегания пласта.


При разработке рпл падает и, согласно (2.32), растёт sэф. Увеличение sэф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что


Уравнения потенциального движения,                                                                                         (2.33)


 


где bт - коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 - 2)10-10Па-1.


 


Зависимость проницаемости от давления


 


В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость


Уравнения потенциального движения.                                                                                          (2.34)


 


При D р < 10 Мпа показатель в (2.27, 2.33 -2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем


Уравнения потенциального движения,                                                                                (2.36)


 


где j - общее обозначение выше приведённых параметров.


 






 


ищи здесь, есть все, ну или почти все