3.2.1. Задача исследования
Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.
3.2.2. Решение общего дифференциального уравнения
установившегося потенциального одномерного потока. Показатель формы потока
При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:
1) галереи (для прямолинейно- параллельного потока);
2) центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоскорадиального потока);
3) центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).
В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока, а из условия неразрывности потока (уравнение 2.3) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход G через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом
r u= G /F( r ), (3.2)
где F=F( r ) - площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.
Определим величину площади F для различных видов одномерных потоков:
Ø прямолинейно-параллельный поток - F( r )=Bh;
Ø плоскорадиальный поток - F( r ) =2p h r;
Ø радиально-сферический поток - F( r ) = 2p r2.
Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r
отсчитывается от стока, т.е. галерея или скважина - эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получаем общее дифференциальное уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:
где А
и j имеют следующие значения:
Ø прямолинейно-параллельный поток - A = Bh, j = 0;
Ø плоскорадиальный поток - A =2p h, j = 1;
Ø радиально-сферический поток - A = 2p, j = 2.
Параметр j получил название показателя формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.
Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим:
где С - произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.
Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1
(плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт
Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи.
1. Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала j на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G = G0 = const, j = j к при r = rк ).
Подставляя данные значения в (3.4), получаем:
Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита G = G0 = const.
2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Т.о. j = j с при r = rc ; j = j к при r = Rк . Подставляя в равенство (3.4) один раз значения Rк и j к, а другой раз значения j с
и rc,
и исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G или объёмный дебит Q:
где значения А
и j приведены выше.
Исключая из (3.6) величину G / A, при помощи формулы (3.7) получаем:
По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит неизвестен.
В случае плоскорадиального потока (j = 1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:
Таким образом, формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоскорадиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).
3.2.3. Потенциальные функции
В предыдущем разделе были получены соотношения, определяющие массовый дебит (3.7, 3.9), распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В то же время для задач исследования необходимо определение объёмного дебита, давления и скорости фильтрации. В связи с этим, определим выражения потенциальной функци
для случаев флюидов различной физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещиноватые).
3.2.3.1. Несжимаемая жидкость и недеформируемый (пористый) пласт
В данном случае k=const, r=const, и кроме того, для простоты будем считать h=const. Таким образом
3.2.3.2. Несжимаемая жидкость и трещиноватый (деформируемый) пласт
Для данных условий r=const и, как в предыдущем случае, h=const, но
где b* изменяется в пределах от 0,01.10-5 м2/н до 0,006.10-5 м2/н.
В таком случае
3.2.3.3. Упругая жидкость и недеформируемый пласт
Считаем k = const, h = const, но
или
В этом случае
3.2.3.4. Совершенный газ и недеформируемый пласт
В данных условиях k = const, h = const, но при изотермической фильтрации
r = rcт р/ рст. (2.29)
При подстановке выражения (2.29) в (2.5) имеем после интегрирования
Данная потенциальная функция получила название функции Лейбензона по имени автора впервые её предложившего.
3.2.3.5. Реальный газ и недеформируемый пласт
Как и в предыдущем случае полагаем k = const. Уравнение состояния реального газа имеет вид
р=zr R T . (2.30)
В случае изотермического течения газа справедливо следующая модификация данного уравнения:
где z(pcm) полагают равным 1.
С учетом (3.16), потенциальная функция запишется в виде
где 
Для вычисления интеграла f(p) наиболее часто применяется следующий способ: по графикам или эмпирическим зависимостям z(p), h(p) определяются значения z(pс) = zс , h(pс)= hс , z(pк) = zк , h(pк)= hк ;
переменные z , h под знаком интеграла заменяются постоянными, равными z = (zc+zr) / 2; h = (hc+hк) / 2. В этом случае можно вычислить интеграл f
3.2.4. Анализ основных видов одномерного течения по закону Дарси
Для практического исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции - потенциала, а конкретных физических параметров - давления, скорости, закона движения и т.д. Следовательно, необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7-3.10) к зависимостям, определяющим выше перечисленные параметры при использовании, приведенных в разделе 3.2.3. выражений для потенциальной функции.
В связи с тем, что для разработки месторождений наибольшее значение имеет плоско-радиальный тип течения (приток к скважине), то ограничимся получением указанных зависимостей для данного вида течения. При этом исходными будут уравнения:
Ø изменения потенциальной функции
где 
Ø притока
Ø изменения градиента потенциала
3.2.4.1. Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый (пористый) пласт
В данном случае
Следовательно,
Ø распределение давления
Ø градиент давления
Ø объёмный дебит (формула Дюпюи)
Ø скорость фильтрации
Ø закон движения частиц флюида
Движение частицы описывается уравнением 
Интегрируем данное соотношение по времени от 0 до t и по расстоянию от R0 до r, где R0 - начальное положение частицы флюида. В результате получим
Время отбора всей жидкости из кругового пласта
Ø средневзвешенное давление
С целью получения выражения для средневзвешенного давления определим
и, подставив в (3.25) выражение (3.19), проинтегрируем от rc до rк. Пренебрегая rс, по сравнению с rк, получаем
Рис. 3.4. Индикаторная диаграмма в случае плоскорадиального течения несжимаемой жидкости в недеформируемом пласте по закону Дарси
|
Анализ:
1. Дебит не зависит от r, а только от депрессии d рк. График зависимости Q от d рк (Рис.3.4) называется индикаторной диаграммой, а сама зависимость - индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины
Рис. 3.6. Распределение давления по радиусу |
Рис. 3.5. Зависимость градиента давления и скорости от расстояния до центра скважины
|
2. Градиент давления 
образуют гиперболу с резким возрастанием значений при приближении к забою.
3. Графиком зависимости р=р( r ) является логарифмическая кривая (рис.3.6), вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.
4. Изобары - концентрические, цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.
5. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура rк для достаточно больших значений rк /rc, т.к. rк /rc входят в формулу под знаком логарифма.
3.2.4.2. Течение несжимаемой жидкости в трещиноватом (деформируемом) пласте
Для данных условий
и основные зависимости имеют вид
Ø распределение давления
Ø градиент давления
Ø объёмный дебит
где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной;
Ø скорость фильтрации
При малых депрессиях на пласт из-за малости b* можно считать, что
и тогда зависимость для давления (3.29) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте.
При b*=0, т.е. для недеформируемого трещиноватого пласта, после раскрытия неопределённости в формуле (3.31) получаем формулу Дюпюи.
Рис. 3.7. Кривые распределения давления: 1- недеформируемый пласт 2 - трещиноватый пласт |
Анализ:
1. В общем случае воронка депрессии для деформируемого пласта более крутая, чем для недеформируемого, пористого (рис. 3.7). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформирумом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим b*.
2. Из формулы для объёмного дебита (3.31) следует, что индикаторная кривая - парабола четвёртого порядка с координатами вершины:
Рис. 3.8. Вид индикаторной кривой при фильтрации несжимаемой жидкости в трещиноватом пласте
|
Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов; вторая ветвь смысла не имеет (рис.3.8). Однако если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит, т.к. не учитываются факторы, связанные с изменением характеристик течения из-за изменения раскрытия трещин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.33).
3. Комплексный параметр b* можно определить или графоаналитически или непосредственно из (3.31), взяв по индикаторной кривой два известных значения дебита Q1 и Q2 при двух значениях депрессии Dрс1 , Dрс2 , т.е. из соотношения
По найденному b*
можно из уравнения (3.31) определить проницаемость k0т.
3.2.4.3. Потенциальное движение упругой жидкости через недеформируемый пласт
При данном виде течения
Подобно тому, как в случае однородной несжимаемой жидкости существует линейная зависимость между потенциалом j и давлением р, так в установившимся потоке малосжимаемой жидкости существует линейная зависимость между j и плотностью r .
Это означает, что для упругой жидкости зависимость между r координатой r выражается точно теми же формулами, какими выражается зависимость между р и r при однородной несжимаемой жидкости. Чтобы найти зависимость для давления подставим в уравнения, связывающие переменные r и r, значения r, rк и rс, определяемые уравнением состояния (2.27). Тогда для плоскорадиального течения имеем
Если взять приближенное линейное уравнение состояния, то придём к тем же зависимостям между р и r , что и при однородной несжимаемой жидкости.
Массовый дебит для упругой жидкости определяется из (3.5) при подстановке j
из (3.14)
Приближенная формула массового дебита получается при использовании линейного уравнения состояния
Разделив G на плотность r, найдем объёмный дебит Q , приведённый к тому давлению, которому соответствует плотность r. Так, приводя объёмный дебит к стандартному давлению в 0,1013 МПа, делим G на rст . В этом случае формула (3.36) будет совпадать с формулой (3.21), справедливой для несжимаемой жидкости.
Пренебрегать сжимаемостью жидкости в установившемся потоке можно только при условии достаточно малой величины коэффициента bж и не очень большого перепада давления D рс = рк
- рс. В этом случае можно, как для несжимаемой жидкости, считать постоянным вдоль потока не только массовый дебит, но и объёмный. В противном случае, вдоль потока: постоянен только массовый дебит; массовая скорость фильтрации изменяется по тому же закону, что скорость фильтрации для несжимаемой жидкости.
Время движения частицы упругой жидкости рассчитывается так же, как и для несжимаемой жидкости.
3.2.4.4. Течение совершенного газа через недеформируемый пласт
В данной постановке 
Рис. 3.9. Распределение давления при плоскорадиальном течении в недеформируемом пласте:
1 - газ; 2 - несжимаемая жидкость |
3
Распределение давления из (3.10)
Если сравнить распределения давления в случае потока газа с соответствующим распределением для однородной несжимаемой жидкости (рис. 3.9), то увидим, что для газа давление вблизи стенок скважины изменяется более резко, чем для несжимаемой жидкости. Пьезометрическая кривая для газа имеет, следовательно, более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкий изгиб у стенки скважины, чем у кривой несжимаемой жидкости.
Ø Уравнение притока
Если обе части уравнения (3.38) разделить на rст , то получим формулу для объёмного дебита, приведенного к стандартному давлению
Рис. 3.10. Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси |
Таким образом, индикаторная зависимость для газа описывает параболическую зависимость дебита Qст от депрессии Dрк (рис.3.10) и линейную зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений в отличие от индикаторной зависимости для несжимаемой жидкости, где устанавливается линейная связь дебита с депрессией
Ø Распределение градиента давления получим из (3.3)
Из данной формулы следует, что градиент давления вблизи забоя резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р, вызванного сжимаемостью газа.
Ø Изменение скорости фильтрации получим из закона Дарси при использовании уравнения (3.40)
Из (3.41) видно, что скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне.
Рис. 3.11. Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси в переменных Q - Dp2 |
Уравнение индикаторной линии. Уравнение (3.39) устанавливает линейную связь между дебитом и разностью квадратов контурного и забойного давлений, поэтому для простоты исследований индикаторная диаграмма при фильтрации идеального газа по закону Дарси строится в координатах Qст –(рк2-рс2). В этом случае имеем прямую (рис.3.11), проходящую через начало координат с угловым коэффициентом
Запишем уравнение (3.39) в координатах Qст–(рк-рс). Так как Qcт=a(рк2-рс2), а разность квадратов рк2 - рс2 = 2ркDрс - (Dрс)2, где (Dрс= рк - рс ), то
Таким образом, для случая фильтрации совершенного газа по закону Дарси, имеем параболу с осью, параллельной оси дебитов (рис.3.10). Ветвь параболы, изображенная пунктиром, физического смысла не имеет.
3.2.4.5. Реальный газ и недеформируемый пласт
Следует использовать при давлении рпл>10МПа и депрессии на пласт рс/рк<0.9.
Как и в предыдущем случае, полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид
р = zr R T . (2.30)
или для изотермического течения газа
Потенциальная функция имеет вид
где `z = (zc+zк) / 2; `h = (hc+hк) / 2; zс =z(pс), hс =h(pс), zк =z(pк), hк =h(pк ).
Подставив в (3.9) выражение потенциала (3.44) и перейдя от массового дебита к объёмному, приведённому к стандартным условиям,
Qст = G/rcm, получим уравнение притока:
Полученное выражение для дебита реального газа отличается от выражения (3.39) совершенного газа среднепластовыми множителями `h и `z. Если сравнить расчётные значения, то можно заметить, что дебиты реального газа ниже дебитов совершенного при тех же условиях. Для тяжелых углеводородов дебит природного газа может составлять всего лишь 72% дебита совершенного.
3.2.5. Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации
В области нарушения верхней границы закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоскорадиального течения
где 
3.2.5.1. Несжимаемая жидкость в недеформируемом пласте
Выразим скорость фильтрации через дебит Q
u=Q / (2p rh)
и перепишем выражение (3.46) в виде
Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, в первом случае, по радиусу от r до Rк и по давлению от р до рк , а, во втором случае, по радиусу от rс до Rк и по давлению от рс
до рк, получаем:
Ø распределение давления в пласте
Ø дебит скважины
Дебит находится как положительный корень квадратного уравнения (3.48). Из данного уравнения видно, что индикаторная линия - парабола. Кривая распределения давления (3.47) - гипербола и воронка депрессии - гипербола вращения. Крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.
3.2.5.2. Идеальный газ в недеформируемом пласте
Найдём распределение давления в круговом пласте и выведем формулу притока газа к скважине. С этой целью выразим скорость через приведённый объёмный расход
Подставим выражение (3.49) в (3.46) и, заменив плотность по уравнению состояния (2.29), получим:
Разделив переменные и проинтегрировав в пределах р - рс и r - rc получим:
Распределение давления по (3.51) отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне.
Интегрируя уравнение(3.50) в пределах рк - рс и Rк - rc, получаем выражение для притока при пренебрежении 1/Rк по сравнению с 1 / rc
или в общепринятом виде
Уравнение (3.53) – основное уравнение, используемое при разработке газовых и газоконденсатных месторождений, так как определяет приток газа к скважине. Коэффициенты А и В определяют по данным исследования газовых скважин при установившихся режимах.
3.2.5.3. Однородная несжимаемая жидкость в деформируемом (трещиноватом) пласте
Для трещиноватой среды двухчленный закон записывается в виде
где 
Умножим все члены (1.46) на плотность r и вынесем за скобки вязкость h. Тогда применительно к плоскорадиальному потоку получим:
где
После разделения переменных и интегрирования (3.54) в пределах rc - rк ; jс - jк получим
Если в (3.55) подставим выражение для трещинной проницаемости и выразим массовый дебит через объёмный, то будем иметь окончательное выражение
Как видно из (3.56), индикаторная кривая в этом случае определяется в результате сложения двух парабол - параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (Dрс) и отстоящей от последней на расстоянии, равном
3.2.5.4. Идеальный газ в деформируемом (трещиноватом) пласте
Из (3.56) при подстановке выражений для плотности, проницаемости и приведённого к стандартным условиям объёмного дебита можно получить следующее выражение:
