Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.
Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция
Равенство (2.5) можно переписать в виде
или, учитывая закон Дарси,
Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации; gradj
- градиент потенциала j,
направленный в сторону быстрейшего возрастания j,
(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , eQ , ej , er , ez - единичные векторы по осям координат x, y, z , Q, j, r и z (цилиндрическая система ).
Уравнение (2.7) - это закон Дарси, записанный для потенциального течения.
Подставляя (2.7)в (2.1), получаем
а для установившегося течения
Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа
относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.
Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:
* сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;
* произведение частного решения на константу - также решение.
Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.
В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид
где (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.
Уравнения фильтрации для трещиновато-пористой среды
Общая система уравнений
В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать её характерные особенности (рис.1.2):
1) моделирование связано с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен - пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);
2) между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.
При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.
Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:
Для жидкости в пористых блоках
Здесь q1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL-3T-1, где М – размерность массы, L – расстояния и Т – времени).
Будем полагать, что q1,2
пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред
q1,2=Q (j2 - j1), (2.12)
где Q - коэффициент переноса, размерности L-2.
Для чисто трещиноватого пласта считаем q1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р1=р2=р
получаем
Для чисто трещинного пласта
Начальные и граничные условия
Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для потенциала.
Начальные условия
j = jо(x,y,z) при t = 0, (2.15)
если при t = 0 пласт не возмущён, то j = jо = const.
Граничные условия
Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).
А) Внешняя граница Г
1)постоянный потенциал
j(Г, t)=jк=const, (2.16)
т.е. граница является контуром питания;
2) постоянный переток массы через границу
G = Fr`u = const, т.е. используя уравнение (2.7)
3) переменный поток массы через границу
4) замкнутая внешняя граница
5) бесконечный пласт
j(Г,t) = jк = const. (2.20)
y®¥
В) Внутренняя граница
1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса rc
j(rc , t)=jc=const
; (2.21)
2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)
3) переменный потенциал на забое
j(rc ,t)=f2(t) при r=rc; (2.23)
4) переменный массовый дебит
5) неработающая скважина
Основные граничные условия - А1, А5 и В1, В2.
Замыкающие соотношения
Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей r, m, k, h от давления.
Зависимость плотности от давления или уравнения состояния
Различают жидкости:
а) Несжимаемую - r=соnst. (2.26)
в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении давления
где bж - коэффициент объёмного расширения, 
bж= (7-30)10-10 Па-1- для нефти и (2,7-5)10-10Па-1 для пластовой воды.
с) Сжимаемую жидкость - газ, имеющую место при разработке газовых и газоконденсатных залежей. До рпл < 9 МПа и D р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа
р=r R T, (2.28)
где R - газовая постоянная, Т - температура.
Совершенный газ - это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.
При изотермическом процессе (Т= const ) используют соотношение
Если рпл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа
р=zr R T, (2.30)
где z - коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.
Зависимость вязкости от давления
До давления меньше давления насыщения вязкость можно принимать не зависящей от давления, а при больших значениях давления
Зависимость пористости от давления
Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды - эффективным давлением sэф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что
sэф + рпл = ргорн
= const. (2.32)
Здесь р - поровое давление; ргорн= rгорн g H -горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности rгорн; Н - глубина залегания пласта.
При разработке рпл падает и, согласно (2.32), растёт sэф. Увеличение sэф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что
где bт - коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 - 2)10-10Па-1.
Зависимость проницаемости от давления
В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость
При D р < 10 Мпа показатель в (2.27, 2.33 -2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем
где j - общее обозначение выше приведённых параметров.
