При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.
Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида
Q=`w Fп , (1.21)
где `w - действительная средняя скорость жидкости; Fп - площадь пор.
Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно,
Q=`w m
F , (1.22)
Величина
u= `w m (1.23)
называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней.
Физический смысл введения скорости фильтрации
заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором расход через любое сечение равен реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (1.23).
1.3.1.2 . Закон Дарси (линейный закон фильтрации)
Рис.1.6. Схема наклонного пласта
В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации - закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н1-Н2 и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой (рис.1.6). Напор для несжимаемой жидкости имеет вид ,где z- высота положения; р/g -
пьезометрическая высота; g - объёмный вес; u
- скорость движения жидкости.
Так как при фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается величина .
Закон Дарси имеет вид
, (1.24)
где с - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости.
Закон Дарси показывает, что между потерей напора и расходом существует линейная связь.
Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,
(1.25)
или в векторной форме
, (1.26)
где s - расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.
Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью - водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде
(1.27)
или
, (1.28)
где h - коэффициент динамической вязкости; k
- коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р=g H - приведённое давление, равное истинному при z=0.
Из сравнения (1.25) и (1.28) имеем
. (1.29)